坐标法解决平面向量最值问题

坐标法解决平面向量最值问题

坐标法解决平面向量中的带有垂直关系问题如菱形，矩形，直角梯形，带特殊角的平行四边形等等

1．已知a , b 是两个互相垂直的单位向量，且c ⋅a =c ⋅b =1, |c |=2，则对任意的

1

正实数t ，|c +

t a +b |

t

∠BAD =120︒，2 (2014天津) 已知菱形ABCD 的边长为2，点E 、F 分别在边BC 、

2

DC 上，BE =λBC ，DF =μDC . 若AE ⋅AF =1，CE ⋅CF =-，则λ+μ=

3

1257A. B. C. D. 23612

3．已知直角梯形ABCD 中，AD //BC , ∠ADC =900, AD =2, BC =1, P 是腰DC 上

的动点，则PA +3PB 的最小值为_____5_______

. 4.(原创) 如图，直角梯形ABCD 中，AD ⊥AB, AB//DC , AB=4,AD=DC=2,设点N 是DC 边的中点，点M 是梯形ABCD 内或边界上的一个动点，则AM ⋅AN 的最大值是( B )

（A ）4

（B ） 6 （C ） 8 （D ）10

N

D

C M

A

B

5，在△ABC 中，

D 为边BC 上一点，BD=

1

DC ，∠ADB=120°，AD=2，若△2

ADC 的面积为3∠BAC=__60°_____

6.(根据浙江省2012高考理科样卷17题改编) 如图，点M 为扇形AOB 的弧的四

1

等分点即AM =AB ，动点C , D 分别在线段OA , OB 上，

4且OC =BD . 若OA =1，∠AOB =120︒，则MC +

MD 的最．

第17题

6解析：连结OM ，设OC=a，则OD=1-a

⎛3⎫1

⎪+ 由余弦定理可得：MC =a 2+12-2⨯1⨯a ⨯cos = a - 62⎪⎝⎭4

π

2

MD =

1-a 2+1=a -12+1

2

2

⎛⎫⎛1⎫

⎪ MC +MD = 0-⎪+ a -2⎪+ 2⎭⎝⎭⎝

2

a -12+0--12

2

3⎫⎛1⎫⎪∴MC +MD ≥ -(-1)⎪=4-3 1-2⎪+ ⎭⎝⎭⎝2

命题意图：考查学生建模的能力和求最值的能力。难度较大。

7．(2013重庆，理10) 在平面上，AB 1⊥AB 2，|OB 1|＝|OB 2|＝1，AP ＝AB 1＋AB 2.

1

若|OP |＜，则|OA |的取值范围是( )

．

2⎛A ．

B

．⎝

⎦⎝⎦

C

．

D

．

⎝⎝答案：D

解析：因为AB 1⊥AB 2，所以可以A 为原点，分别以AB 1，AB 2所在直线为

x 轴，y 轴建立平面直角坐标系．设B 1(a, 0) ，B 2(0，b ) ，O (x ，y ) ，

则AP ＝AB 1＋AB 2＝(a ，b ) ，即P (a ，b ) ．

由|OB 1|＝|OB 2|＝1，得(x －a ) 2＋y 2＝x 2＋(y －b ) 2＝1. 所以(x －a ) 2＝1－y 2≥0，(y －b ) 2＝1－x 2≥0.

11

由|OP |＜，得(x －a ) 2＋(y －b ) 2＜，

24

1

即0≤1－x 2＋1－y 2＜.

4

7

2≤2

4所以|

OA |

的取值范围是，故选D ．

⎝