椭圆周长的计算

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关键词：高精度，椭圆周长，近似计算，初等公式

简介：椭圆的周长计算,由于要用到积分与级数，它一直位于“高处不胜寒”的境地。有

没有一个高精度的初等公式，让中小学生或者一般工程人员，在日常生活或者工程计算中，用一个简单的计算器甚至用笔就能计算椭圆周长呢？为了普及计算椭圆的周长，笔者寻找并最终找到一个初等公式，它的误差可由使用者自由控制。虽然这个公式可以保证误差低于一亿分之一，但仍然可用小学算术完成全部计算。

椭圆周长的计算

周钰承

一、椭圆弧长的近似计算可以得到普及

椭圆的周长计算,由于要用到积分与级数，它一直位于“高处不胜寒”的境地。这里面

有一部分内容，尽管让数学家们陶醉，却也让一些求知欲极强的中小学生入迷，其中最突出的便是如何计算椭圆的周长。 椭圆的标准函数形式为：

xa

22



yb

22

1 „„„„„„„„„„„„„„„（1）

（1）式中如果abr,则化为圆心在坐标原点、半径为r的圆。避开圆的方程不谈，计算圆的面积与周长是在小学六年级开始学习的。可是由于椭圆积分没有初等公式，一些中小学教师和学生，在教学互动中有时会遇到椭圆周长的计算问题，令有的教师感到十分尴尬，甚至指责学生“钻牛角尖”。为什么让一些学生感兴趣的一小块内容，成了他们在学习和生活中的盲区？大概是因为椭圆积分写不出初等函数，而级数公式一般人却难以应用；或者有一些近似公式，要么精度太低，要么需要查各种数学用表，这就使得椭圆的周长计算始终不能得普及应用。有没有一个高精度的初等公式，让中小学生或者一般工程人员，在日常生活或者工程计算中，用一个简单的计算器甚至用笔就能计算椭圆周长呢？为此笔者发表了拙作。

为了让问题简单化，本文不从曲线方程来探究，仅从图形入手。例如，我们在小学数

学中，用圆周率计算圆的周长和面积，不必用到割圆术与积分式，但并不碍于学习和研究，后文的“例题分析”将解决方程问题。

二、椭圆周长公式

圆是小学时候学习的，为了从这个知识层面说起,我们先说说椭圆周长。用一把菜刀将一根火腿肠截成两段，截面周围一圈是一个椭圆（包括圆）；丛林中的太阳光斑也是一个椭圆面。

如图（1），椭圆有两条对称轴，如果有一条对称轴被椭圆截得的线段，是端点在椭圆

上的所有线段中最长的线段，这部分线段叫做长轴，而另一条对称轴被椭圆截得的线段是端点在椭圆上的所有线段中最短的线段,这部分线段叫做短轴。长轴的一半叫做长半轴，用a表示它的长度，短轴的一半叫做短半轴，我们用字母b表示它的长度。

图（1）

图（1）中，椭圆的面积与周长公式分别是：

S椭圆面积ab

C椭圆周长

„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„(2)

2

0.4872(ab)ab

„„„„„(3) 4(ab)1642

(ab)2.8abab

公式(2)是计算椭圆面积的标准公式。公式（3）误差约为十万分之三，故而取

=3.14159。表达式中括号内的分式

0.1218(ab)

2

2

(ab)2.8ab

是误差调整项。在日常生活中可以舍

去，不予计算，若这部分不计算，则误差率大约千分之三，参见后文公式（7）；若欲保证误差率低于一亿分之一，参见后文公式（8）。

为了让读者更直观地感受到公式（3）的误差，笔者在公式（3）中取 3.1415926536，并把计算所得的椭圆周长值，与椭圆周长真值作列表比较，读者可以发现误差率约为十万分之三。

表中椭圆周长真值是根据下列级数公式用语言算法计算的：

C(ab)[1



2

4





4

64





6

256



25

8

16384



49

10

65536

„„] ， 

abab

,(ab)„(4)

如果利用公式(4)来计算椭圆周长，当a与b的值比较接近时，只需要级数前两项就可

以达到相当高的准确率，但当a与b的取值相差较大时，即使是用到级数第十项，误差还相当大。这个公式既不适合于工程计算，也不适合中学生用笔或者用计算器来计算。

此处把“中国椭圆周长公式”和“印度椭圆周长”与本文公式（3）略作优劣比较： 3h

C椭圆周长(ab)11mn，

1043h

22abab

其中h1,n,m

ab7a

2

33.697

„„“中国椭圆周长”法（5）

C椭圆周长[3(ab)

(a3b)(3ab)] „„„„“印度椭圆周长”法（6）

C椭圆周长

2

0.4872(ab)ab

本文周长法（3） 4(ab)1642

(ab)2.8abab

“印度椭圆周长公式”优点是简捷，缺点是当短半轴在长半轴几十分之一以下时是完全错误的，因为椭圆周长的最小值是长半轴的4倍，而这个公式显然不满足这点。

“中国椭圆周长公式”优点是精度很高，缺点是使用难度太大，需要查数学用表。 本文周长公式的优点是容易普及，中小学生或者一般工程人员既可以用笔粗算，也可以用计算器精算。

当在日常生活中用笔粗算时，本文周长公式化为：

C椭圆周长4(ab)(164)

abab

„„„„„„„„„„„„„（7）

公式（7）误差率约千分之三，因而只取=3.14。

我们可以将公式（3）进一步精确，使误差率小于一亿分之一。下面这个椭圆周长公式用于高精度计算，一般用不着使用，它的作用是检验椭圆周长的误差，它的精度比中国椭圆公式还高得多，但仍然可以用小学算术独立完成全部计算。

C

2

ab4(ab)

4(ab)164„„„（8） 2

(ab)abab

椭圆周长

（8）式中, 取=3.1415926536，若, 当0.5当0.25当0.1当0

ba1

ab

则：

|3a4b|

a

,2

时，0.10950340.000016

时， 时，

0.1131146

；

; ； 。

ba

ba

0.50.0001342

|3a8b|

a

|7a40b|

a

,2.221337

0.250.12000560.0001604,2.762770

ba

0.1时，0.1314486

0.0003511

|11a200b|

a

,4.504034

只需要取=3.1415926536，则可得下表中各数据，由于表中椭圆周长的误差率低于一百亿分之八，故而判断此公式在任何情形下误差均低于一亿分之一。

三、椭圆周长公式的应用

此处把本文的主要公式罗列于下： S椭圆面积ab

„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„(2)

abab

C椭圆周长4(ab)(164)

„„„„„„„„„„„„„（7）

„„(3)

C椭圆周长

2

0.4872(ab)ab

4(ab)1642

(ab)2.8abab

C

椭圆周长

2

ab4(ab)

„„„„（8） 4(ab)1642

(ab)abab

（8）式中,若,a当0.5当0.25当0.1当0

ba1

b

则：（下列各式中的两竖线为绝对值符号）

0.000016

|3a4b|

a

a

|7a40b|

a

时，0.1095034

时， 时，

,2

；

; ； 。

ba

ba

0.50.11311460.0001342

|3a8b|

,2.221337

0.250.12000560.0001604,2.762770

ba

0.1时，0.1314486

0.0003511

|11a200b|

a

,4.504034

上述公式中，公式（2）是标准的椭圆面积公式；公式（3）是误差约十万分之三的椭

圆周长公式，故取=3.1416，适合于一般工程计算或者考试时笔算使用；公式（7）是误差约千分之三的椭圆周长公式，取=3.14，适合于我们在日常生活中使用，它只需要小学算术用笔算就能完成；公式（8）是误差约为十三亿分之一的周长公式，可以用来检验其它椭圆周长公式的正确性，它的精度是六位数的椭圆积分表的一千倍，取=3.1415926536，使用十二位数及以上的计算器为宜，亦可使用八位数计算器。

例1． 如图，椭圆长半轴是3，短半轴是2，笔算阴影部分的面积和弧AB的长(保留3个有

效数字)。

解：保留3个有效数字，取=3.142，笔算椭圆弧长可用周长公式（7）。

阴影部分面积是四分之一椭圆面积减去一个三角形面积，弧AB的长度是椭圆周长的四分之一。故： S阴影部分面积

14

ab

12



ab1.71

(ab)ab6515

2

L

椭圆

14



周长

ab

ab

3.142

差低于一百亿分之八。

3.97。

若取=3.1415926536用公式（8）检验得AB弧长为：3.9663597195，这个数误

例2.求二次曲线xxyy2x4y0在第一象限内与坐标轴所围成的封闭图形的面积及周长（保留4个有效数字，参考数据：2＝1.41431.732,6＝2.449）。

解：将坐标轴旋转。设旋转角为，则cot2



xXcosYsin44度。代入旋转公式得：

yXsinYcos44



2)

2

22

111

0,得

，即逆时针旋

4

转45 ，其中X，Y为新坐标系中的坐标。

把上式代入原方程，解得：1(X

2

32

(Y2)

2

4

再把坐标轴向a(2,2)平移|a|2个单位，化为标准方程得：

X8

2



Y

2

83

1

这是一个椭圆，其长半轴长与短半轴长分别为a

8,b

83

。据此分析，曲线图形

在原坐标系中如下，中心坐标为（0，2），所求的面积为图中阴影部分。

容易发现，所求面积为椭圆面积的一半。周长保留4个有效数字，取=3.14159，故：

S阴影面积

12

ab

12

8

83



433

7.255

周长保留4个有效数字可用公式（3），由于OM＝4，故：

C阴影周长

22

0.1218(ab)2ab2(ab)242

ab4.8ababab

0.12181.4299.2382.858

3.14159482.66722.174.4614.461

11.14。

习题：1.用公式（7）笔算长半轴是5，短半轴是3的椭圆周长，保留3个有效数字。 2.用公式（3）笔算例1中的弧AB的长度，保留4个有效数字。

3.用公式（8）和计算器求例2中弧OMN的长度，保留8个有效数字(其中

23,

6

均用计算器保留11位有效数字)。