3.1.成比例线段(A教案)

3.1 成比例线段

【基础知识精讲】

一、两条线段的比：如果当用同一长度单位量得两条线段AB，CD的长度分别是m，n，那么就说这两条线段的比AB：CD＝m：n或写成做它们的比值．

说明：（1）两线段的比是指用同一种长度的单位度量的两线段长度的比

（2）两线段的比值与所用的长度单位无关． （3）线段的比是一个没有单位的正数。

二、成比例线段：

1.比例线段： 四条线段a，b，c，d，中，如果a与b的比等于c与d的比，即

ABm

k，其中线段AB，CD分别叫做这两条线段比的前项和后项，k叫CDn

ac

，那么这四条线段bd

a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段，其中a，d可称为比例外项，b，c可称为比例内项，d可称为a，b，c的第四比例项． 2.比例中项： 如果b=c，即三、比例的性质： 1. 基本性质: 如果

ab

，则b叫做a、c的比例中项。 （或b2ac）

bc

ac

，那么adbc. （两外项之积等于两内项之积） bd

ac

如果ad＝bc（a，b，c，d，都不等于0），那么．

bd

说明：①比例的基本性质是比例变形的重要依据．②比例的基本性质的互逆关系的变形，可引用比值k的

ac

＝k，那么a＝kb，c＝kd，ad＝kb×d＝b×kd＝bc bd

ab

(交换内项)cd，



acdc

(交换外项)2．更比性质：(交换比例的内项或外项)：，

bdba

db

(同时交换内外项)ca．



acbd

3．反比性质: 如果，那么. (把比的前项、后项交换)

bdacacabcd

4．合比性质：如果，那么.（即为左右加1） 

bdbdacabcd

5．分比性质：如果，那么.（即为左右减1） 

bdbdacmacLma

. 6．等比性质: 如果L(bdLn0)，那么

bdnbdLnb

注：①此性质的证明运用了“设k法”（即引入新的参数k）这样可以减少未知数的个数，这种方法是有关

方法，设

比例计算变形中一种常用方法．

②应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．

③可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：

acea2c3ea2c3ea；其中b2d3f0． bdfb2d3fb2d3fb

四、黄金分割：

1、概念：点c把线段AB分成两条线段AC和BC（AC>BC），如果分割点，AC与AB的比叫做黄金比，

ACBC

，那么点c叫做线段AB黄金

ABAC

AC51

0.618。 AB2

(2)...较短

35

全长2

2：作黄金分割点

(1)...较长

1

全长2

(3)..一条线段有两个黄金分割点,其距离(2)全长

求已知线段AB的黄金分割点 如图：

1、经过点B作BD⊥AB，且BD=

1

AB 2

2、连接AD，在DA上截取DE＝DB．

3、在AB上截取AC＝AE，所以点C是线段AB的黄金分割点． 理由：设AB＝1，则BD＝

135ACBC11

，AD＝， AC＝，BC＝；所以

222ABAC22

所以点C是线段AB的黄金分割点．

3：黄金三角形：顶角是36的等腰三角形。黄金矩形：宽与长的比等于黄金比的矩形

xyz2x23yzz2

例1. 设，求2的值． 2

234x2xyz

解：设

xyz

＝k，则x＝2k，y＝3k，z＝4k 234

2(2k)233k4k(4k)212k21原式＝＝＝ 222

24k2(2k)22k3k(4k)

x4y3z8

，且x＋y＋z＝12，求x，y，z的值． 324x4y3z8

解：设＝k，则x＝3k－4，y＝2k－3，z＝4k－8，代入 324

例2. 如果

x＋y＋z＝12中，得3k－4＋2k－3＋4k－8＝12，解得k＝3

x＝3k－4＝3×3－4＝5 y＝2k－3＝2×3－3＝3 z＝4k－8＝4×3－8＝4

法二：等比性质

例3. 如图所示，矩形ABCD是黄金矩形（即

1AB＝≈0.618），如果在其内作正方形CDEF，得到一

BC

2个小矩形ABFE

，试问矩形ABFE是否也是黄金矩形？

例4．如果

bcaaacbbabc

c

k，

则一次函数ykx(k2)。一定经过第 二 象限. 变式训练：

1.若a、b、c均为正数，xabc

bcac

ab

，则x的值一定是（ A ）

A、

1

2

B、-1 C、12或-1 D、3

2

2：若a23b4c5

6

,且2ab3c21，试求a:b:c的值。

答案：4:8:7

3：如图，扇子的圆心角为x°，余下扇子的圆心角为y0

,x与y的比

通常按黄金比来设计，这样的扇子外形较为美观。若取黄金比为 0.6，则x为（ B ）

A、2160 B、1350 C、1200 D、108

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1.线段a，b的积是625，则a，b的比例中项x是 25 ； 2.已知a2，b4，c5，则a,b,c的第四比例项d为__10__. 3.若 a:5b:3c:4，则

a2b3c3ab2c____11

4

____.

54.已知 ace5，则2ac7e

7f

 7 . ；

b

d

f

7

2bd【同步练习】 一、填空题

8

1、如果

abab

3

5

，那么b

＝__5 ______． 2、若a＝2，b＝3，c＝3，则a、b、c的第四比例项d为__

_ _____．

3、若x



y3

5z7，则xyzxyz

＝____5____．

4、在一张地图上，甲、乙两地的图上距离是3 cm，而两地的实际距离为1500 m，那么这张地图的比例尺为__1:50000______．

5、在1∶500000的地图上，A、B两地的距离是64 cm，则这两地间的实际距离是___320km_____．

27

xy

6、若2x－5y＝0，则y∶x＝__5 ______，＝___5_____．

x

5

ABAC

7、若，且AB＝12，AC＝3，AD＝5，则AE＝___4_____． ADAE

二、选择题 1、已知

ac

，则下列式子中正确的是（ C ） bd

2

2

A. a∶b＝c∶d B. a∶d＝c∶b C. a∶b＝（a＋c）∶（b＋d） D. a∶b＝（a－d）∶（b－d） 2、已知直角三角形的两条直角边的长的比为a∶b＝1∶2，其斜边长为4cm，那么这个三角形的面积是（ B ）cm．

A. 32 B. 16 C. 8 D. 4 3、若，且3a－2b＋c＝3，则2a＋4b－3c的值是（ D ） A. 14 B. 42 C. 7 D. 4、等边三角形的一边与这边上的高的比是（ C ）

A. ∶2 B. ∶1 C. 2∶3 D. 1∶3 5、下列各组中的四条线段成比例的是（ C ）

A. a＝2，b＝3，c＝2，d＝ B. a＝4，b＝6，c＝5，d＝10 C. a＝2，b＝，c＝23，d＝ D. a＝2，b＝3，c＝4，d＝1

6、已知线段a、b、c、d满足ab＝cd，把它改写成比例式，错误的是（ B ） A. a∶d＝c∶b B. a∶b＝c∶d C. d∶a＝b∶c D. a∶c＝d∶b 7、若ac＝bd，则下列各式一定成立的是（ B ）

14 3

2

a5b7c8

adbcabaa2dac

 A.  B. C. 2 D.

cdddccbbd

8、已知点M将线段AB黄金分割（AM＞BM），则下列各式中不正确的是（ C ） A. AM∶BM＝AB∶AM

B. AM＝

11

AB C. BM＝AB D. AM≈0.618AB 22

三、计算

1、若点P在线段AB上，点Q在线段AB的延长线上，AB＝10， 答案：24 2、已知 答案：

3、在△ABC中，D是BC上一点，若AB＝15 cm，AC＝10 cm，且BD∶DC＝AB∶AC，BD－DC＝2 cm，求B C．

答案：BC=10

4、现有三个数1，2，2，请你再添上一个数写出一个比例式，这样的比例式唯一吗？

答案：不唯一

5、已知线段AB=6，C为线段AB的黄金分割点，求下列各式的值。 （1）AC-BC （2）AC·BC

答案：12或12-（2

）372

达标检测： 一、选择题

1.已知线段a=3厘米,线段b=13毫米,则a与b的比是( C )

31330 A. 13 B. 3 C. 13

13

D. 30

APΑQ3

，求线段PQ的长． BPBQ2

xy4x

，求． 2x3y

3 5

2.在比例尺为1:500000的地图上,量得A、B两地的距离是4厘米,•则这两地的实际距离是( B ) A.2千米 B.20千米 C.200千米 D.2000千米

xy34,下列式子一定成立的是( D ) 3.已知

A.3x=4y B.x=12y C.xy=12 D.4x=3y 4.如果 A.

acbd

,那么下列等式成立的是( A )

; B.

acbd

ad

abcd

bd

; C.

abcd

bc

; D.

acbd

ab

5.等腰直角三角形中,一条直角边与斜边的比是( C )

1 A. 2

6.如果ab=mn,那么下列等式不成立的是( C ) A.

anammb B. nb

am



C. bn

mb

D. an

二、填空题

1.如果a、b、c、d是成比例线段,且a=2cm,b=6cm,d=12cm,则c=__4或1或36______.

5yxy7aab



5,则x=___2_______. 2.如果b=5,那么b=___4____; 3.已知y

4.如果

x2x

xx1,那么

x=__-2____; 5.已知a:b=3:1,且a+b=8,则a-b=___4_____.

6.用“84•”消毒液配制药液,•对白色衣物进行消毒,•要求按1:200的比例进行稀释,现要配制此种药液4020克,则需“84”消毒液___20___克. 三、计算题

1.在比例尺是1:8000000的《中国政区》地图上,量得福州与上海之间的距离为7.5厘米,那么福州与上海两地的实际距离是多少千米?

答案：600KM

x3xy7xyzxyz



4,求y的值. 2.已知345,求3xy的值. 3.已知y

答案：

四、(2001,新疆自治区)某班同学要测量学校升国旗的旗杆高度,在同一时刻,•量得某一同学的身高是1.5米,影长是1米,旗杆的影长是8米,则旗杆的高度是( A )

21

答案： 54

A.12米 B.11米 C.10米 D.9米

ac

五、如果bd

=k,那么:(1)

abcd

bd

成立吗?为什么?(2)

abcd

bd

成立吗?为什么?

答案：均成立

家庭作业

1.（2009年孝感）美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，

某女士身高165cm，下半身长x与身高l 的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（ C ） A．4cm B．6cm C．8cm D．

10cm

2.（2009年衢州）在△ABC中，AB=12，AC=10，BC=9，AD是BC边上的高.将△ABC按如图所示的方式折叠，

使点A与点D重合，折痕为EF，则△DEF的周长为（ D ）

A.9.5 B.10.5 C.11 D.15.5 3. 已知：

abck,则直线ykx2k一定经过（ B ） bcacab

A、第一、二象限 B、第二、三象限 C第三、四象限 D、第一、四象限

4．在比例尺为1:5000的地图上,量得甲,乙两地的距离为25cm,则甲,乙两地的实际距离是__1.25km____.

ab的值为____5 ________. abc

0，则

4c234

ace

6．已知3，b2d3f18.，则a2c3e____54______.

bdf

5．已知

7. 已知点C是线段AB的黄金分割点,且AC>BC,则AC∶

BC=_((15cm __。

8. 已知点C、D是线段AB的黄金分割点，且CD=1，则

2 .

若AB=10cm，则

ace2ace2bdf3bdf3,那么请你根据探索到的这一规律,解答下列问题:已知△ABC•和9、由,易证

ABBCCA3

A`B`B`C`C`A`4,且A′B′+B′C′+C′A′=20厘米,求△ABC的周长. △A′B′C′中,

答案：15

10、如图,△ABC中,

ADAE

DBEC

DBEC

ABAC

,AB=12,AE=6,EC=4. (1)求AD的长; (2)求证: .

A

DB

EC

答案：(1)7.2 （2）略