数学中的中国传统文化问题汇编

数学中的中国传统文化

一、算法问题

1．用更相减损术求294和84的最大公约数时，需要做减法的次数为( )

A ．2

C ．4

答案 C

解析 (84,294)→(84,210)→(84,126)→(84,42)→(42,42)，一共做了4次减法．

2．如图所示的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14,18，则输出的a 为(

) B ．3 D ．5

A ．4

C ．0

答案 B

解析 由题意输出的a 是18,14的最大公约数2，故选B.

3．用辗转相除法求459和357的最大公约数，需要做除法的次数是( )

A ．1

C ．3

答案 C

解析 ∵459÷357＝1„102，

357÷102＝3„51，

102÷51＝2，

∴459和357的最大公约数是51，需要做除法的次数是3.

4．秦九韶算法是中国南宋时期的数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，对于求一个n 次多项式函数f n (x ) ＝a n x n ＋a n －1x n 1＋„＋a 1x ＋a 0的具体函数值，运用常规方法计算出结果最多需要n －B ．2 D ．14 B ．2 D ．4

次加法和n (n ＋1)次乘法，而运用秦九韶算法由内而外逐层计算一次多项式的值的算法至多需要2

n 次加法和n 次乘法．对于计算机来说，做一次乘法运算所用的时间比做一次加法运算要长得多，所以此算法极大地缩短了CPU 运算时间，因此即使在今天该算法仍具有重要意义．运用秦九韶算法计算f (x ) ＝0.5x 6＋4x 5－x 4＋3x 3－5x 当x ＝3时的值时，最先计算的是( )

A ．－5×3＝－15

B ．0.5×3＋4＝5.5

1

C ．3×33－5×3＝66

D ．0.5×36＋4×35＝1 336.6

答案 B

解析 f (x ) ＝0.5x 6＋4x 5－x 4＋3x 3－5x ＝(((((0.5x ＋4) x －1) x ＋3) x ＋0) x －5) x ，

然后由内向外计算，最先计算的是0.5×3＋4＝5.5.

5．若用秦九韶算法求多项式f (x ) ＝4x 5－x 2＋2当x ＝3时的值，则需要做乘法运算和加减法运算的次数分别为( )

A ．4,2

C ．5,2

答案 C

解析 ∵f (x ) ＝((((4x ) x ) x －1) x ) x ＋2，∴乘法要运算5次，加减法要运算2次．

6．已知函数f (x ) ＝6x 6＋5，当x ＝x 0时，用秦九韶算法求f (x 0) 的值，需要进行乘方、乘法、加法的次数分别为( )

A ．21,6,2

C ．0,1,2

答案 D

解析 ∵f (x ) ＝6x 6＋5，

多项式的最高次项的次数是6，

∴要进行乘法运算的次数是6.

要进行加法运算的次数是1，

运算过程中不需要乘方运算．

7．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，下图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的a 依次为2,2,5，x ，n 均为2，则输出的s 等于( ) B ．7,1,2 D ．0,6,1 B ．5,3 D ．6,2

2

A ．7

C ．17

答案 C

解析 第一次运算，a ＝2，s ＝2，n ＝2，k ＝1，不满足k >n ；

第二次运算，a ＝2，s ＝2×2＋2＝6，k ＝2，不满足k >n ；

第三次运算，a ＝5，s ＝6×2＋5＝17，k ＝3，满足k >n ，

输出s ＝17，故选C.

8．用秦九韶算法求多项式f (x ) ＝x 3－3x 2＋2x －11的值时，应把f (x ) 变形为( )

A ．x 3－(3x ＋2) x －11

C ．(x －1)(x －2) x －11

答案 D

解析 f (x ) ＝x 3－3x 2＋2x －11＝((x －3) x ＋2) x －11

9．用秦九韶算法求函数f (x ) ＝3x 5－2x 4＋2x 3－4x 2－7当x ＝2的值时，v 3的结果是( )

A ．4

C ．16

答案 C

解析 函数f (x ) ＝3x 5－2x 4＋2x 3－4x 2－7＝((((3x －2) x ＋2) x －4) x ) x －7，

当x ＝2时，v 0＝3，v 1＝3×2－2＝4，v 2＝4×2＋2＝10，v 3＝10×2－4＝16.

10．用秦九韶算法求多项式f (x ) ＝x 6－5x 5＋6x 4＋x 2＋0.3x ＋2的值，当x ＝－2时，v 1的值为

( )

A ．1

C ．－7

答案 C

解析 ∵f (x ) ＝x 6－5x 5＋6x 4＋x 2＋0.3x ＋2＝(((((x －5) x ＋6) x ＋0) x ＋1) x ＋0.3) x ＋2，

∴v 0＝a 6＝1, v 1＝v 0x ＋a 5＝1×(－2) －5＝－7.

11．利用秦九韶算法求多项式f (x ) ＝－6x 4＋5x 3＋2x ＋6的值，当x ＝3时，v 3的值为( )

A ．－486

B ．12 D ．34 B ．(x －3) x 2＋(2x －11) D ．((x －3) x ＋2) x －11 B ．10 D ．33 B ．7 D ．－5 B ．－351 3

C ．－115

答案 C D ．－339

解析 f (x ) ＝－6x 4＋5x 3＋2x ＋6＝(((－6x ＋5) x ＋0) x ＋2) x ＋6，

∴v 0＝a 4＝－6，

v 1＝v 0x ＋a 3＝－6×3＋5＝－13，

v 2＝v 1x ＋a 2＝－13×3＋0＝－39，

v 3＝v 2x ＋a 1＝－39×3＋2＝－115.

12．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县) 人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例．若输入n ，x 的值分别为4,3，则输出v 的值为(

)

A ．20

C ．183

答案 C

解析 由程序框图知，初始值：n ＝4，x ＝3，v ＝1，i ＝3，第一次循环：v ＝6，i ＝2；第二次循环：v ＝20，i ＝1；第三次循环：v ＝61，i ＝0；第四次循环：v ＝183，i ＝1. 结束循环，输出当前v 的值183.

13．原始社会时期，人们通过在绳子上打结来计算数量，即“结绳计数”，当时有位父亲，为了准确记录孩子的成长天数，在粗细不同的绳子上打结，由细到粗，满七进一，那么孩子已经出生多少天？( ) B ．61 D ．548

4

A ．1 326 B ．510 C ．429 D ．336

答案 B

解析 由题意满七进一，可得该图示为七进制数，

化为十进制数为1×73＋3×72＋2×7＋6＝510.

14．用秦九韶算法计算多项式f (x ) ＝5x 5＋4x 4＋3x 3＋2x 2＋x ＋1，乘法运算次数为____________．加法运算次数为________．

答案 5 5

解析 ∵f (x ) ＝((((5x ＋4) x ＋3) x ＋2) x ＋1) x ＋1，

∴乘法要运算5次，加法要运算5次

15．若f (x ) ＝x 4＋3x 3＋x ＋1，用秦九韶算法计算f (π)时，需要乘法m 次，加法n 次，则m ＋n ＝________.

答案 6

解析 f (x ) ＝x 4＋3x 3＋x ＋1＝(((x ＋3) x ) x ＋1) x ＋1，

用秦九韶算法计算f (π)时，乘法运算与加法运算的次数和等于6.

16．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其

b ＋d b d 理论依据是：设实数x 的不足近似值和过剩近似值分别为和(a ，b ，c ，d ∈N *) ，则是x a c a ＋c

的更为精确的不足近似值或过剩近似值．我们知道π＝3.141 59„，若令

“调日法”后得3149

次用“调日法”后可得π的近似分数为________．

答案 227

17．我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在 222„中“„”即代表无限次重复，但原式却是个定值x . 这可以通过方程2＋x ＝x 确定x ＝2，则1＋________. 11＋1＋„1

答案 1＋5 2

5

解析 由题意，可令1＋1

11＋1＋„1＋51－51＝x ，即1＋x ，即x 2－x －1＝0，解得x ＝(x ＝x 22

舍) ，故1＋1＋11

1＋„1＋5. 2

18．用辗转相除法求840与1 764的最大公约数．

答案 1 764＝840×2＋84,840＝84×10＋0，

∴840与1 764的最大公约数是84.

19．用更相减损术求440 与556的最大公约数．

答案 556－440＝116,440－116＝324,324－116＝208，

208－116＝92,116－92＝24,92－24＝68，

68－24＝44,44－24＝20,24－20＝4,20－4＝16，

16－4＝12,12－4＝8,8－4＝4，

∴440与556的最大公约数4.

20．用秦九韶算法求多项式f (x ) ＝7x 7＋6x 6＋5x 5＋4x 4＋3x 3＋2x 2＋x 当x ＝3时的值． 答案 f (x ) ＝((((((7x ＋6) x ＋5) x ＋4) x ＋3) x ＋2) x ＋1) x

v 0＝7，

v 1＝7×3＋6＝27，

v 2＝27×3＋5＝86，

v 3＝86×3＋4＝262，

v 4＝262×3＋3＝789，

v 5＝789×3＋2＝2 369，

v 6＝2 369×3＋1＝7 108，

v 7＝7 108×3＋0＝21 324，

∴f (3)＝21 324，

即当x ＝3时，函数值是21 324.

21．(1)用辗转相除法求840与1 785的最大公约数；

(2)用秦九韶算法计算函数f (x ) ＝2x 4＋3x 3＋5x －4在x ＝2时的函数值．

答案 (1)1 785＝840×2＋105,840＝105×8＋0，

∴840与1 785的最大公约数是105.

(2)秦九韶算法如下：f (x ) ＝2x 4＋3x 3＋5x －4＝x (2x 3＋3x 2＋5) －4＝x [x (2x ＋3x ) ＋5]－4＝x {x [x (2x ＋3)]＋5}－4，故当x ＝2时，f (x ) ＝2×{2×[2×(2×2＋3)]＋5}－4＝62.

22．(1)用辗转相除法求779与247的最大公约数；

(2)利用秦九韶算法求多项式f (x ) ＝2x 5＋4x 4－2x 3＋8x 2＋7x ＋4当x ＝3时的值．

答案 (1)779＝247×3＋38，

6

2

247＝38×6＋19，

38＝19×2.

故779与247的最大公约数是19；

(2)把多项式改成如下形式：

f (x ) ＝2x 5＋4x 4－2x 3＋8x 2＋7x ＋4＝((((2x ＋4) x －2) x ＋8) x ＋7) x ＋4.

按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当x ＝3时的值：v 0＝2，

v 1＝v 0x ＋4＝2×3＋4＝10，

v 2＝v 1x －2＝10×3－2＝28，

v 3＝v 2x ＋8＝28×3＋8＝92，

v 4＝v 3x ＋7＝92×3＋7＝283，

v 5＝v 4x ＋4＝283×3＋4＝853.

所以当x ＝3时，多项式f (x ) 的值是853.

23．(1)用辗转相除法求228与1 995的最大公约数；

(2)用秦九韶算法求多项式f (x ) ＝3x 5＋2x 3－8x ＋5在x ＝2时的值．

答案 (1)1 995＝228×8＋171，

228＝171×1＋57，

171＝57×3，

因此57是1 995与228的最大公约数．

(2)f (x ) ＝3x 5＋2x 3－8x ＋5＝((((3x ＋0) x ＋2) x ＋0) x －8) x ＋5

当x ＝2时，

v 0＝3，

v 1＝3×2＝6，

v 2＝6×2＋2＝14，

v 3＝14×2＝28，

v 4＝28×2－8＝48，

v 5＝48×2＋5＝101，

所以当x ＝2时，多项式的值是101.

24．(1)用“更相减损术”求72和168的最大公约数；

(2)用“辗转相除法”求98和280的最大公约数．

答案 (1)∵168－72＝96，

96－72＝24，

72－24＝48，

48－24＝24，

故72和168的最大公约数是24.

(2)∵280＝2×98＋84，

7

98＝1×84＋14，

84＝6×14，

故98和280的最大公约数是14.

25．用秦九韶算法求函数f (x ) ＝x 5＋x 3＋x 2＋x ＋1当x ＝3时的函数值．

答案 f (x ) ＝x 5＋x 3＋x 2＋x ＋1＝((((x ＋0) x ＋1) x ＋1) x ＋1) x ＋1，

当x ＝3时，

v 0＝1，

v 1＝v 0×3＋0＝3；

v 2＝v 1×3＋1＝10;

v 3＝v 2×3＋1＝31;

v 4＝v 3×3＋1＝94;

v 5＝v 4×3＋1＝283，

即x ＝3时的函数值为283.

二、数列问题

1．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位) ．这个问题中，甲所得为( )

5A. 钱 4

3C. 钱 2

答案 B

解析 依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a －2d ，

8

4B. 钱 35D. 钱 3

a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，

则由题意可知，a －2d ＋a －d ＝a ＋a ＋d ＋a ＋2d ，即a ＝－6d ，

又a －2d ＋a －d ＋a ＋a ＋d ＋a ＋2d ＝5a ＝5，∴a ＝1，

a 44则a －2d ＝a －2×(－＝a ＝. 633

2．南北朝时期的数学古籍《张邱建算经》有如下一道题：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差(即等差) 降之，上三人，得金四斤，持出；下四人后入得三斤，持出；中间三人未到者，亦依等次更给．问：每等人比下等人多得几斤？”( )

A.

C. 4 397B. 78D. 5817 76

答案 B

解析 设第十等人得金a 1斤，第九等人得金a 2斤，以此类推，第一等人得金a 10斤， 则数列{a n }构成等差数列，设公差为d ，则每一等人比下一等人多得d 斤金，

⎧⎧⎪a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3⎪4a 1＋6d ＝3，7⎨由题意得，即⎨解得d ＝， 78⎪a 8＋a 9＋a 10＝4⎪⎩⎩3a 1＋24d ＝4，

∴每一等人比下一等人多得7斤金． 78

3．《张丘建算经》是公元5世纪中国古代内容丰富的数学著作，书中卷上第二十三问：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈．问日益几何？”其意思为“有个女子织布，每天比前一天多织相同量的布，第一天织五尺，一个月(按30天计) 共织390尺．问：每天多织多少布？”已知1匹＝4丈，1丈＝10尺，估算出每天多织的布约有( )

A ．0.55尺

C ．0.52尺

答案 A

解析 设每天多织d 尺，由题意a 1＝5，{a n }是等差数列，公差为d ，

∴S 30＝30×5＋

解得d ≈0.55.

4．《张丘建算经》有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，七日织二十一尺，第二日，第五日，第八日所织之和为十五尺，问第九日所织尺数为( )

A ．7

C ．11

答案 D

解析 设第一天织a 1尺，从第二天起每天比第一天多织d 尺， B ．9 D ．13 30×29＝390， 2B ．0.53尺 D ．0.5尺

9

7×6⎧⎪7a 1＋2＝21，由已知得⎨ ⎪⎩a 1＋d ＋a 1＋4d ＋a 1＋7d ＝15，

解得a 1＝－3，d ＝2，

∴第九日所织尺数为a 9＝a 1＋8d ＝－3＋8×2＝13.

5．古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？” 意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据已知条件，可求得该女子第3天所织布的尺数为( ) 2A. 3

20C. 31

答案 C

a 1(1－25)解析 由题意可得：每天织布的量组成了等比数列{a n }，S 5＝5，公比q ＝2 ，5， 1－2

5520计算可得a 1，所以a 3＝×22＝313131

6．在《张邱建算经》中有一道题：“今有女子不善织布，逐日所织的布比同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日”，由此推断，该女子到第10日时，大约已经完成三十日织布总量的( )

A ．33%

C ．62%

答案 B

解析 由题意可得：每日的织布量形成等差数列{a n }，

且a 1＝5，a 30＝1，

4设公差为d ，则1＝5＋29d ，解得d ＝－29

∴S 10＝5×10＋

S 30＝10×941 270×(－) ＝. 22929B ．49% D ．88% 8B. 153D. 5 30×(5＋1)＝90. 2

1 2701×0.49＝49%. 2990∴该女子到第10日时，大约已经完成三十日织布总量的

7．《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何．”其意思为：有个女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布( )

A ．30尺

C ．150尺 B ．90尺 D ．180尺

10

答案 B

解析 由题意可得，每日的织布量形成等差数列{a n }， 且a 1＝5，a 30＝1， 所以S 30＝

30×(5＋1)

＝90. 2

8．在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．问：几日相逢？( ) A ．9日 C ．16日 答案 A

解析 由题意知，良马每日行的距离成等差数列， 记为{a n }，其中a 1＝103，d ＝13； 驽马每日行的距离成等差数列， 记为{b n }，其中b 1＝97，d ＝－0.5；

设第m 天相逢，则a 1＋a 2＋„＋a m ＋b 1＋b 2＋„＋b m ＝103m ＋

m (m －1)×13m (m －1)×(－0.5)

＋97m ＋22

B ．8日 D ．12日

＝2×1 125，

解得m ＝9(负值舍去) ．

9．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，全书收集了246个问题及其解法，其中一个问题为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为3升，下面三节的容积之和为4升，求中间两节的容积各为多少？”该问题中第2节，第3节，第8节竹子的容积之和为( ) A.

177113

B. C. 升 6266

D. 109

升 33

答案 A

解析 自上而下依次设各节容积为a 1，a 2，„a 9，

⎧⎧⎪a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3⎪2(a 2＋a 3)＝3

由题意得⎨，即⎨，得

⎪a 7＋a 8＋a 9＝4⎪⎩⎩3a 8＝4

⎧

⎨4⎩a ＝3

8

3

a 2＋a 3＝2

，

3417

所以a 2＋a 3＋a 8＝＝升) ．

236

10．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到

11

达目的地，请问第二天走了( ) A ．24里 B ．48里 C ．96里 答案 C

1

解析 由题意可知此人每天走的步数构成以为公比的等比数列，

21a 1[1－)6]

2

由题意和等比数列的求和公式可得＝378，解得a 1＝192，

11－

21

∴第二天此人走了192×96里．

2

11．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为( ) A ．24里 C ．6里 答案 C

1

解析 记每天走的路程里数为{a n }，可知{a n }是公比q ＝的等比数列，

21a 1(1－)

21

由S 6＝378，得S 6＝＝378，解得a 1＝192，∴a 6＝192×＝6.

121－2

12．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，一头粗，一头细，在粗的一段截下一尺，重四斤；在细的一端截下一尺，重二斤．问依次每一尺各重几斤？”根据已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，中间三尺的重量为( ) A ．6斤 C ．10斤 答案 B

解析 此问题构成一个等差数列{a n }，

设首项为2，则a 5＝4，∴中间3尺的重量为3a 3＝故选B.

13．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为

12

D ．192里

B ．12里 D ．3里

B ．9斤 D ．12斤

a 1＋a 52＋4

×3＝3＝9(斤) ， 22

( ) A ．6斤 C ．9.5斤 答案 A

解析 依题意，金箠由粗到细各尺构成一个等差数列，

设首项a 1＝4，则a 5＝2，由等差数列性质得a 2＋a 4＝a 1＋a 5＝6， 所以第二尺与第四尺的重量之和为6斤．

14．《算法通宗》是我国古代内容丰富的数学名书，书中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红灯向下倍加增，共灯三百八十一，请问塔顶几盏灯？”其意思为“一座塔共七层，从塔顶至塔底，每层灯的数目都是上一层的2倍，已知这座塔共有381盏灯，请问塔顶有几盏灯？”( ) A ．3 C ．5 答案 A

解析 由题意设塔顶有a 盏灯，由题意由上往下数第n 层就有2n 1·a 盏灯，

－

B ．9斤 D ．12 斤

B ．4 D ．6

∴共有(1＋2＋4＋8＋16＋32＋64) a ＝381盏灯， 1×(1－27)即a ＝381.

1－2解得a ＝3.

15．我国古代数典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”上述问题中，两鼠在第几天相逢．( ) A ．3 C ．5 答案 B

解析 由题意可知，大老鼠每天打洞的距离是以1为首项，以2为公比的等比数列， 1－2n 前n 天打洞之和为＝2n －1，

1－2

11－()n

21

同理，小老鼠前n 天打洞之和为2－－，

121－

2∴2n －1＋2－

2

－＝10，解得

B ．4 D ．6

1

n ∈(3,4)，取n ＝4.

即两鼠在第4天相逢．

16．如图是谢宾斯基(Sierpinsiki)三角形，在所给的四个三角形图案中，着色的小三角形个数构成数列{a n }的前4项，则{a n }的通项公式可以是( )

13

A ．a n ＝3n 1

－

B ．a n ＝2n －1 D ．a n ＝2n 1

－

C ．a n ＝3n 答案 A

解析 着色的小三角形个数构成数列{a n }的前4项，分别为a 1＝1，a 2＝3，a 3＝3×3＝32，a 4＝32×3，因此{a n }的通项公式可以是a n ＝3n 1.

－

17．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列．上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升． 答案

67

66

解析 设该数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，

⎧⎪a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，

依题意⎨

⎪a 7＋a 8＋a 9＝4，⎩

⎧4a 1＋6d ＝3，⎪

即⎨解得3a ＋21d ＝4，⎪⎩1

⎧

⎨7⎩d ＝66，

4

a 1＋7d ＝，

3

42167

则a 5＝a 1＋4d ＝a 1＋7d －3d ＝－＝36666

18．华罗庚数学小组的同学们在图书馆发现一块古代楔形文字泥板的图片，同学们猜测它是一

种乘法表的记录，请你根据这个猜测，判定

表示________？(如图

)

答案 395

解析 图片中记录的是自然数乘以9的运算结果，左列是被乘数，右列是该数乘以9的积数，经过分析可知：其中▽代表1，⊲代表10，代表60.

14

所以

表示60×6＋10×3＋5×1＝395.

19．在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》(1261年) 一书中，用如图A 所示的三角形，解释二项和的乘方规律．在欧洲直到1623年以后，法国数学家布莱士·帕斯卡的著作(1655年) 介绍了这个三角形．近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形”(Chinese triangle) ，如图A.17世纪德国数学家莱布尼茨发现了“莱布尼茨三角形”如图

r 1r 1B. 在杨辉三角中相邻两行满足关系式：C r n ＋C n ＝C n ＋1，其中n 是行数，r ∈N .

＋

＋

请类比上式，在莱布尼茨三角形中相邻两行满足的关系式是________．

1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1

„

1r n-1n

C 0n C n „ C n „ C n C n

图A

11

22111 3631111 [1**********] [1**********]111 6306060306„ „C C n +1C C n +1C n C n +1C n n +1C n C n +1C n n

图B

答案

C C n +2C C n +2C n +1n +1C n n +1

1

，而相邻两项之和是上一行的C n +1

1

1

11

1

1

1

1

解析 类比观察得，莱布尼茨三角形的每一行都能提出倍数

r +1r +1

两者相拱之数，所以类比式子C r n ＋C n ＝C n +1，

有

. ＝C C n +2C C n +2C n +1n +1C n n +1

111

20．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面用点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数，将三角形数1,3,6,10，„记为数列{a n }，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n }．可以推测：

15

(1)b 2 012是数列{a n }中的第________项； (2)b 2k -1＝________.(用k 表示) 5k (5k －1)

答案 (1)5 030 (2)

2

n (n ＋1)

解析 由题意可得a n ＝1＋2＋3＋„＋n ，n ∈N *，

2故b 1＝a 4，b 2＝a 5，b 3＝a 9，b 4＝a 10，b 5＝a 14，b 6＝a 15， 由上述规律可知：b 2k ＝a 5k ＝b 2k -1＝a 5k -1＝

5k (5k ＋1)

(k ∈N *) ， 2

(5k －1)(5k －1＋1)5k (5k －1)

，

22

故b 2 012＝b 2×1 006＝a 5×1 006＝a 5 030， 即b 2 012是数列{a n }中的第5 030项． 21．请认真阅读下列材料：

“杨辉三角” (1261年) 是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角”(1653年) 早了300多年(如图1) ．在“杨辉三角”的基础上德国数学家莱布尼兹发现了下面的单位分数三角形(单位分数是分子为1，分母为正整数的分数) ，称为莱布尼兹三角形(如图2)

1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1

„ „ 图1 1

111 22111 3631111 [1**********] 52030205

„ „ 图2

16

请回答下列问题：

(1)记S n 为图1中第n 行各个数字之和，求S 4，S 7，并归纳出S n ； (2)根据图2前5行的规律依次写出第6行的数． 答案 (1)S 4＝8＝23； S 7＝64＝26； Sn ＝2n 1.

－

(2)图中每个数字都是其两脚的数字和， 111111

故第6行为 6306060306三、空间几何体

1．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是( ) 寸．

(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 C

解析 如图，由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸．

∵积水深9寸，

1

∴(14＋6) ＝10寸，

2

1

则盆中水的体积为×9(62＋102＋6×10) ＝588π(立方寸) ．

3∴平地降雨量等于故选C.

2．《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何？答曰：二千一百一十二尺．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一．”就是说：圆堡瑽(圆柱体) 的体积为：V ＝尺)( ) A ．3 C ．3.2

B ．3.14 D ．3.3

17

588π

3(寸) ． π×141

×(底面的圆周长的平方×高) ．则由此可推得圆周率π的取值为(注：1丈＝1012

答案 A

解析 由题意，圆柱体底面的圆周长48尺，高11尺， ∵圆堡瑽(圆柱体) 的体积V ＝∴V ＝

1

(底面的圆周长的平方×高) ， 12

1

×(482×11) ＝2 112， 12

⎧⎪2πR ＝48，

设底面圆的半径为R ，∴⎨2

⎪πR ×11＝2 112，⎩

∴π＝3.

1

3．《九章算术》商功章有题：一圆柱形谷仓，高1丈3尺32000斛(1丈＝10尺，

31尺＝10寸，斛为容积单位，1斛≈1.62立方尺，π≈3) ，则圆柱底圆周长约为( ) A ．1丈3尺 C ．9丈2尺 答案 B

解析 设圆柱形谷仓底面半径为r 尺， 由题意得，谷仓高h ＝

40

3

B ．5丈4尺 D ．48丈6尺

于是谷仓的体积V ＝πr 2·h ≈2 000×1.62， 解得r ≈9.

∴圆柱底圆周长约为2πr ≈54尺＝5丈4尺．

4．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成1

一”．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式V ≈2h . 它实

36际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3. 那么，近似公式V ≈式中的π近似取为( ) A. C. 22 7

25B. 8D. 355

113

22

h 相当于将圆锥体积公75

157

50

答案 B 解析 由题意知

2212125h ≈πr 2h 2≈r 2，而L ＝2πr ，代入得π≈7537538

5．在《九章算术》中，将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称之为羡除，现有一个羡除如图所示，面ABCD 、面ABFE 、面CDEF 均为等腰梯形，AB ∥CD ∥EF ，AB ＝6，CD ＝8，EF ＝10，EF 到面ABCD 的距离为3，CD 与AB 间的距离为10，则这个羡除的体积是( )

18

A ．110 C ．118 答案 D

解析 过A 作AP ⊥CD ，AM ⊥EF ，过B 作BQ ⊥CD ，BN ⊥EF ，垂足分别为P ，M ，Q ，N ，

B ．116 D ．120

1

将一侧的几何体放到另一侧，组成一个直三棱柱，底面积为10×3＝15.

2棱柱的高为8，∴V ＝15×8＝120. 故选D.

6．刘徽在他的《九章算术注》中提出一个独特的方法来计算球体的体积：他不直接给出球体的体积，而是先计算另一个叫“牟合方盖”的立体的体积．刘徽通过计算，“牟合方盖”的体积411

与球的体积之比应为后人导出了“牟合方盖”的V 牟＝r 3－V 方盖差，r 为球的

π884

半径，也即正方形的棱长均为2r ，从而计算出V 球＝πr 3. 记所有棱长都为r 的正四棱锥的体积为

3V 正，棱长为2r 的正方形的方盖差为V 方盖差，则

V 方盖差

等于(

) V 正

1A. 2C. 2 答案 C

11441

解析 由题意，V 方盖差＝r 3牟＝r 3－××π×r 3＝r 3，

88π33所有棱长都为r 的正四棱锥的体积为

19

B.

2

2

D. 3

1

V 正＝×r ×r ×

3

r 2－(

22)＝r 3， 26

13

V 方盖差3∴＝2. V 正23

r 6

7．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(

牟合

) 在一起的方形伞(方盖) ．其直观图如图所示，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线，当其正视图与侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是( )

A ．a ，b C ．c ，b 答案 A

解析 由直观图可知，其正视图与侧视图完全相同，则其只能是圆，这时其俯视图就是正方形加对角线(实线) ． 故选A.

8．刘徽在他的《九章算术注》中提出一个独特的方法来计算球体的体积：他不直接给出球体的体积，而是先计算另一个叫“牟合方盖”的立体的体积．刘徽通过计算，“牟合方盖”的体积11

与球的体积之比应为4∶π，即V 牟：V 球＝4∶π.也导出了“牟合方盖”的体积计算公式，即牟

884

＝r 3－V 方盖差，从而计算出V 球＝πr 3. 记所有棱长都为r 的正四棱锥的体积为V 正，则( )

3A ．V 方盖差＞V 正 B ．V 方盖差＝V 正 C ．V 方盖差＜V 正

D ．以上三种情况都有可能 答案 A

11441

解析 由题意，V 方盖差＝r 3牟＝r 3－×πr 3＝r 3，

88π33

B ．a ，c D ．b ，d

20

1

所有棱长都为r 的正四棱锥的体积为V 正＝×r ×r ×

3∴V 方盖差＞V 正．

9．我国古代数学名著《数学九章》 中有云：“今有木长二丈四尺，围之五尺．葛生其下，缠木两周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为“圆木长2丈4尺，圆周为5尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺(注：1丈等于10尺)( ) A ．29尺 C ．26尺 答案 C

解析 由题意，圆柱的侧面展开图是矩形，一条直角边(即木棍的高) 长24尺，另一条直角边长5×2＝10(尺) ，因此葛藤长24＋10＝26(尺) ．

10．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一) ，米堆底部的弧长为9尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为

1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有( )

B ．24尺 D ．30尺

r 2－22

r )＝3， 26

A ．14斛 C ．36斛 答案 B

π18

解析 设圆锥的底面半径为r ，则r ＝9，解得r ＝，

21118

故米堆的体积为××π×() 2×5≈45，

43π∵1斛米的体积约为1.62立方， ∴堆放的米有45÷1.62≈28斛．

11．《九章算术》是我国古代著名数学经典．其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深一寸，锯道长一尺．问这块圆柱形木料的直径是多少？长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分) ．已知弦AB ＝1尺，弓形高CD ＝1寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为( )

21

B ．28斛 D ．66斛

(注：1丈＝10尺＝100寸，π≈3.14，sin 22.5°≈

5

13

A ．600立方寸 C ．620立方寸 答案 D 解析 如图，

B ．610立方寸 D ．633立方寸

AB ＝10(寸) ，则AD ＝5(寸) ，CD ＝1(寸) ， 设圆O 的半径为x (寸) ，则OD ＝(x －1)(寸) ， 在Rt △ADO 中，由勾股定理可得52＋(x －1) 2＝x 2， 解得x ＝13(寸) ． ∴sin ∠AOD ＝

AD 5＝， AO 13

即∠AOD ≈22.5°，则∠AOB ＝45°.

的面积S ＝1π×132－110×12 则弓形ACB 242

≈6.33(平方寸) ．

则该木材镶嵌在墙中的体积约为V ＝6.33×100 ＝633(立方寸) ． 故选D.

12．鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构) 啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、 前后完全对称．从外表上看，六根等长的正四棱柱体分成三组， 经90°榫卯起来，如图，若正四棱柱体的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为________．(容器壁的厚度忽略不计)

22

答案 41π

解析 由题意，该球形容器的半径的最小值为

14136＋4＋1＝ 22

41

∴该球形容器的表面积的最小值为4π·41π.

4

13．沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时．如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8 cm ，细沙全部在2

上部时，其高度为圆锥高度的(细管长度忽略不计) ．

3

(1)如果该沙漏每秒钟漏下0.02 cm3的沙，则该沙漏的一个沙时为多少秒(精确到1秒)?

(2)细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，求此锥形沙堆的高度(精确到0.1cm) ．

答案 (1)开始时，沙漏上部分圆锥中的细沙的高为 21628H ＝8＝r ＝×4＝

，

3333

11816

V r 2H ＝π×(2×39.71，

3333V ÷0.02＝1 986(秒) ．

所以沙全部漏入下部约需1 986秒．

(2)细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的底面半径为4，

23

设高为H ′，

11 024V ×42×H ′＝π，

381H ′＝

64

2.4. 27

锥形沙堆的高度约为2.4 cm.

14．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P －ABCD 中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD ＝CD ，过棱PC 的中点E ，作EF ⊥PB 交PB 于点F ，连接DE ，DF ，BD ，BE .

(1)证明：PB ⊥平面DEF . 试判断四面体DBEF 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角(只需写出结论) ；若不是，说明理由．

πDC

(2)若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为的值．

3BC

答案 (1)证明 如图，以D 为原点，射线DA ，DC ，DP 分别为x ，y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，如图所示．

设PD ＝DC ＝1，BC ＝λ(λ>0)，

→

则D (0,0,0)，P (0,0,1)，B (λ，1,0) ，C (0,1,0)，PB ＝(λ，1，－1) ， 因为点E 是棱PC 的中点， 1111→

所以E (0，) ，DE ＝(0) ，

2222→→

于是PB ·DE ＝0，所以PB ⊥DE . 又已知EF ⊥PB ，而DE ∩EF ＝E ，

24

所以PB ⊥平面DEF . →

因为PC ＝(0,1，－1) ， →→所以DE ·PC ＝0，

所以DE ⊥PC ，而PB ∩PC ＝P ， 所以DE ⊥平面PBC .

由DE ⊥平面PBC ，PB ⊥平面DEF ，可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形， 即四面体BDEF 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB ，∠DEF ，∠EFB ，∠DFB . (2)解 由PD ⊥平面ABCD ，

→

所以DP ＝(0,0,1)是平面ABCD 的一个法向量．

→

由(1)知，PB ⊥平面DEF ，所以BP ＝(－λ，－1,1) 是平面DEF 的一个法向量． π

若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为

3→→π|BP ·DP |11

则cos ＝||＝

3→→λ＋22|BP |·|DP |结合λ>0，解得λ＝2， 所以

DC 12＝BC λ2

π

故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为时，

3DC 2. BC 2

四、其他问题

1．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为( ) A ．134石 C ．338石 答案 B

2828

解析 抽样比是，那么1 534石米夹谷1 534×169(石) ，故选B.

254254

2．2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组

25

B ．169石 D ．1 365石

审议通过，正式开始实施．如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行．若用2c 1和2c 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a 1和2a 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：

c 1c 2

①a 1＋c 1＝a 2＋c 2；②a 1－c 1＝a 2－c 2；③c 1a 2＞a 1c 2；④

解析 ①由题图知2a 1>2a 2, 2c 1>2c 2， 即a 1>a 2，c 1>c 2， ∴a 1＋c 1>a 2＋c 2， ∴①不正确．

②∵a 1－c 1＝|PF |，a 2－c 2＝|PF |， ∴a 1－c 1＝a 2－c 2， ∴②正确．

③∵a 1>a 2>0，c 1>c 2>0，

222

∴a 21>a 2，c 1>c 2.

B ．①③ D ．②③

又∵a 1－c 1＝a 2－c 2，即a 1＋c 2＝a 2＋c 1，

222即a 21＋c 2＋2a 1c 2＝a 2＋c 1＋2a 2c 1， 222∴a 21－c 1＋c 2－a 2＋2a 1c 2＝2a 2c 1，

即(a 1－c 1)(a 1＋c 1) －(a 2－c 2)(a 2＋c 2) ＋2a 1c 2＝2a 2c 1， 整理得(a 1－c 1)(a 1－a 2＋c 1－c 2) ＋2a 1c 2＝2a 2c 1. ∵a 1>c 1，a 1>a 2，c 1>c 2， ∴2a 1c 2a 1c 2， ∴③正确．

④∵c 1a 2>a 1c 2，a 1>0，a 2>0， ∴

c a a c c c ，即， a 1a 2a 1a 2a 1a 2

26

∴④不正确． 故选D.

3．古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求其直径d 的一个近似公式d ≈

316

V ，人们还用过一些类似的近似公式．根据π＝3.14 159„，判断下列近似公式中最精9

确的一个是( ) 316

A ．d ≈ V

93300

C ．d ≈

157答案 D

36V 4d 3

解析 由V ＝π() ，解得d ＝

32πa 66b

令＝，则π＝， b a 选项A 代入得π＝

6×9

3.375， 16

B ．d ≈

2V

321

D ．d ≈ V

11

6

选项B 代入得π＝＝3，

2选项C 代入得π＝

6×157

3.14， 300

11×6

≈3.142 857. 21

选项D 代入得π＝

故D 项中的近似公式最精确．

4．“勾股定理”在西方被称为“华达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中π

较小的锐角α＝6

( )

A ．1－

3 2

B. 3 2

27

C.

43

4

D.

3 4

答案 A

13

解析 设小正方形的边长为x ，由于sin α＝cos α＝，

22即

x ＋13

＝x 3－1， 22

4－3

＝1－， 42

故飞镖落在小正方形内的概率是P ＝故选A.

5．如图，是我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为4，大正方形的面积为

100，直角三角形中较小的锐角为α，则tan α＝________.

3

答案

4

解析 由题意得，大正方形的边长为10，小正方形的边长为 2， 1

∴2＝10cos α－10sin α，∴cos α－sin α＝

53

又α为锐角，易求得tan α＝4

6．2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的，弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图) ，如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ.

那么cos 2θ的值等于________．

答案

725

解析 ∵小正方形的面积为1，大正方形的面积为25， ∴每一个直角三角形的面积是6，

设直角三角形的两条直角边长分别为a ，b ，

28

a ＋b ＝25，⎧⎪则⎨1

ab ＝6，⎪⎩2

∴两条直角边的长分别为3,4， 又∵直角三角形中较小的锐角为θ， 47∴cos θ＝cos 2θ＝2cos 2θ－1＝525

7．数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读．数学中有回文数，如343、12521等，两位数的回文数有11、22、33、„、99共9个，则三位数的回文数中，偶数的概率是______． 4

答案

9

解析 三位数的回文数为ABA ，

A 共有1到9共9种可能，即1B 1、2B 2、3B 3„、9B 9，

B 共有0到9共10种可能，即A 0A 、A 1A 、A 2A 、A 3A 、„、A 9A ， 共有9×10＝90个，

其中偶数为A 是偶数，共4种可能，即2B 2、4B 4、6B 6、8B 8， B 共有0到9共10种可能，即A 0A 、A 1A 、A 2A 、A 3A 、„、A 9A ， 共有4×10＝40个，

∴三位数的回文数中，偶数的概率P ＝

404. 909

2

2

8．欧阳修《卖油翁》中写到：(翁) 乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐杓酌滴沥之，自钱孔入，而钱不湿，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止，若铜钱是直径为1.5 cm 的圆，中间有边长为0.5 cm 的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油(油滴的大小忽略不计) 正好落入孔中的概率为________． 答案

4

9π

1.59

解析 由题意可得铜钱的面积S ＝π×(2＝，

2161

边长为0.5 cm的正方形孔的面积S ′＝0.52＝

4∴所求概率P ＝

S ′4

. S 9π

9．2011年，国际数学协会正式宣布，将每年的3月14日设为国际数学节，来源是中国古代数学家祖冲之的圆周率，为庆祝该节日，某校举办的数学嘉年华活动中，设计了如下有奖闯关游戏：参赛选手按第一关、第二关、第三关的顺序依次闯关，若闯关成功，分别获得5个学豆、10个学豆、20个学豆的奖励，游戏还规定，当选手闯过一关后，可以选择带走相应的学豆，结束游戏；也可以选择继续闯下一关，若有任何一关没有闯关成功，则全部学豆归零，游戏结

29

321

束．设选手甲第一关、第二关、第三关闯关成功的概率分别为，，选手选择继续闯关的概

4321

率均为，且各关之间闯关成功互不影响．

2(1)求选手获得5个学豆的概率；

(2)求选手甲第一关闯关成功且所得学豆为零的概率． 313

答案 (1)P (X ＝5) ＝＝.

428

(2)设甲“第一关闯关成功且所得学豆为零”为事件A ，“第一关闯关成功第二关闯关失败”为事件A 1，“前两关闯关成功第三关闯关失败”为事件A 2，则A 1，A 2互斥， 3121

P (A 1) ＝×(1－) ＝

4238312111

P (A 2) ＝×(1) ＝4232216113

P (A ) ＝P (A 1) ＋P (A 2) ＝＋＝.

81616

10．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表．其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经1

验公式为：弧田面积＝(弦·矢＋矢2) ．弧田(如图) ，由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”

2指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．

按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差．现有圆心角为9 m的弧田．

2π

，弦长等于3

(1)计算弧田的实际面积；

(2)按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得结果与(1)中计算的弧田实际面积相差多少m 2？(结果保留两位小数) 答案 (1) 扇形半径r ＝33， 112π

扇形面积为2(33) 2＝9π，

223

112π32

弧田实际面积为αr2－2sin ＝9π(m) ．

223411

(2)圆心到弦的距离等于r ，所以矢长为r .

22按照上述弧田面积经验公式计算得

113327271

(弦·矢＋矢2) ＝×＋) ＝＋) ． 2224429π327327

－≈1.52 m2， 448

30

按照弧田面积经验公式计算结果比实际少1.52 m2.

31