上海高中数学--基本不等式

上海高中数学——基本不等式

重难点：了解基本不等式的证明过程；会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题．

考纲要求：①了解基本不等式的证明过程．

②会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题． 经典例题：若a ，b ，c 都是小于1的正数，求证：

当堂练习：

1. 若，，不可能同时大于． ，下列不等式恒成立的是

（ ）

A ．

2. 若 B ．且 C ． D ． ，则下列四个数中最大的是 （ ）

Ａ． Ｂ． Ｃ．2ab

Ｄ．a

的最大值为 （

）

Ｃ．

的最小值是( )

C. D. Ｄ．－1

3. 设x>0,则Ａ．3 Ｂ．4. 设 A. 10 B.

5. 若x, y是正数，且，则xy 有 （ ）

Ａ．最大值16 Ｂ．最小值 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值

6. 若a, b, c∈R ，且ab+bc+ca=1, 则下列不等式成立的是 （ ）

A ． B ．

C ． D ．

7. 若x>0, y>0,且x+y4, 则下列不等式中恒成立的是 （ ）

A ． B ． C ． D ．

10年专注，8

8. a,b是正数，则

Ａ．三个数的大小顺序是 （ ） Ｂ．

Ｃ． Ｄ．

9. 某产品的产量第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，设这两年平均增长率为x ，则有（ ） Ａ． Ｂ．

Ｃ． Ｄ．

10. 下列函数中，最小值为4的是

（ ）

Ａ．

Ｃ．

11. 函数 Ｂ． Ｄ．的最大值为 .

12. 建造一个容积为18m3, 深为2m 的长方形无盖水池，如果池底和池壁每m2 的造价为200元和150元，那么池的最低造价为 元.

13. 若直角三角形斜边长是1，则其内切圆半径的最大值是 .

14. 若x, y为非零实数，代数式

15. 已知：

的值恒为正，对吗？答

. , 求mx+ny的最大值.

16. 已知

的大小，并加以证明.

．若、, 试比较与

17. 已知正数a, b满足a+b=1（1）求ab 的取值范围; （2）求

的最小值.

18. 设

立.

. 证明不等式 对所有的正整数n 都成

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参考答案： 经典例题： 【 解析】 证法一 假设，，同时大于，

∵ 1－a>0，

b>0，∴ 同理，≥， . 三个不等式相加得

. ，不可能，

∴ (1－a)b ，(1－b)c ，(1－c)a 不可能同时大于证法二 假设，，同时成立，

∵ 1

－a>0，1－b>0，1－

c>0，a>0，b>0，c>0，∴ ， 即. （*） 又∵

≤，

同理

∴≤，≤≤， 与（*）式矛盾，

故

当堂练习： 不可能同时大于.

1.A; 2.B; 3.C; 4.D; 5.C; 6.A; 7.B; 8.C; 9.C; 10.C;11. ; 12. 3600 ;

13.

15． ; 14. 对;

16. 【 解析】 ． 10年专注，8

∵ 、

＝， ∴ 时，取“＝”号． ． 当且仅当当时，有．

∴ ．．

即．

当时，有．

即

17. (1) (2)

18．【 解析】 证明 由于不等式

对所有的正整数k 成立, 把它对k 从1到n(n≥1) 求和, 得到

又因

因此不等式

以及对所有的正整数n 都成立.

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