新北师版八年级数学上册第一至三章知识点总结
八年级数学上册第一至三章知识点总结
第一章 勾股定理
1、勾股定理
直角三角形两直角边a ,b 的平方和等于斜边c 的平方,即a 2 +b2=c2
2、勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a ,b ,c 有关系,a 2 +b2=c2那么这个三角形是直角三角形。 3、 勾股数:满足a 2 +b2=c2的三个正整数,称为勾股数。
常见的勾股数有:①3、4、5; ②5、12、13; ③6、8、10; ④7、24、25;⑤8、15、17; ⑥9、12、15; (7)9、40、41; (8)10、24、26
第二章 实数
一、实数的概念及分类
1、实数的分类 正有理数
零有限小数和无限循环小数 实数负有理数 正无理数
无限不循环小数 负无理数
2、无理数:无限不循环小数叫做无理数。 (1)开方开不尽的数,如, 2等;
π
(2)有特定意义的数,如圆周率π,或化简后含有π的数,如+8等;
3
(3)有特定结构的数,如0.1010010001…等; 二、实数的倒数、相反数和绝对值
1、相反数:如果a 与b 互为相反数,则有a+b=0,a=-b,反之亦成立。 2、绝对值:若|a|=a,则a ≥0;若|a|=-a,则a ≤0。
3、倒数:如果a 与b 互为倒数,则有ab=1,反之亦成立。倒数等于本身的数是
1和-1。零没有倒数。
4、数轴:规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴 5、估算
三、平方根、算数平方根和立方根
2
算术平方根:如果一个正数x 的平方等于a ,即x =a ,那么这个正数x 叫做a 的
)。规定,0的算术平方根为0=0。
2
平方根:如果一个数x 的平方等于a ,即x =a ,那么这个数x 叫做a 的平方根,
1
也叫二次方根。
平方根的性质:①一个正数有两个平方根,它们互为相反数; ②零有一个平方根,它是零本身; ③负数没有平方根。
开平方:求一个数a 的平方根的运算,叫做开平方,a 叫做被开方数。
≥0 注意a 3、立方根
一般地,如果一个数x 的立方等于a ,即x 3=a那么这个数x 就叫做a 的立方根(或三次方根)。表示方法:记作a
性质:一个正数有一个正的立方根;一个负数有一个负的立方根;
零的立方根是零。
开立方:求一个数a 的立方根的运算叫做开立方 四、实数比较大小
1、实数比较大小:正数大于零,负数小于零,正数大于一切负数;数轴上的两个点所表示的数,右边的总比左边的大;两个负数,绝对值大的反而小。 2、实数大小比较的几种常用方法
(1)数轴比较:在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大。 (2)求差比较:设a 、b 是实数,
a -b ≥0 则a ≥b a -b ≦0 则a ≦b
(3)求商比较法:设a 、b 是两正实数,a ÷b ≥1 则a ≥b a÷b ≤1 则a ≤b (4)绝对值比较法:设a 、b 是两负实数,则|a|≥|b| 则a ≤b (5)平方法:设a 、b 是两负实数,。a 2 ≥b 2则a ≤b 五、二次根式
1、式子a (a ≥0) 叫二次根式. a a
=b b
(1)ab =a ⋅b (a ≥0,b ≥0) (2)(a ≥0,b>0) (3)(4) m a =m a (a ≥0, b >0)m a ⋅n =ab (a ≥0, b ≥0)
n b n
2、最简二次根式:被开方数不含分母,也不含能开得尽方的因数或因式。 分母有理化的方法:
①若分母中只含有a ,则分子、分母同时乘以a ,由a ·a =a,则分母变成a.
②若分母含有a +b (或a -),则分子、分母同乘以a -b (或a +),根据(a +b )(a -b )=a-b,将分母有理化. 3、二次根式的混合运算方法:
2
①二次根式化成最简二次根式后,再合并成同类二次根式.
②二次根式的混合运算与有理数的混合运算法则一样,合并同类项方法类似.
第三章 平面直角坐标系
一、平面直角坐标系的概念
在平面内两条互相垂直且有公共原点的数轴,构成了平面直角坐标系。水平的数轴称为x 轴或横轴,取向右的方向为正方向;竖直的数轴称为y 轴,又称 纵轴,取向上的方向为正方向;两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。 二、象限的划分
1、建立平面直角坐标系后,整个平面被分为6个部分。第一象限、第二象限、第三象限、第四象限、横轴、纵轴。横轴和纵轴是各象限的分界线,不属于任何象限。
右上部分叫做第一象限,其他三个部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限(如图1-5-1所示).
说明:(1)理解象限的概念时,要注意它们是按逆时针方向排列的,不要弄错方向。
(2)坐标轴上的点不属于任何一个象限。
2、建立平面直角坐标系后,平面上任何一个点都有唯一的一个有序实数对与它对应,称为点的坐标,反之,任何
一个有序实数对,都可在平面直角坐标系内找到唯一的一点与它对应. 三、点的坐标及其特点
1、在平面直角坐标系中,若点P 不在坐标轴上,过该点分别向x 轴、y 轴作垂线,垂足在x 轴y 轴上对应的数分别为a 、b ,我们分别称a.,b 为点P 的横坐标、纵坐标.合起来就是该点的坐标,用(a 、b )来表示 2、点P(x,y)到坐标轴及原点的距离:
(1)点P(x,y)到x 轴的距离等于y (2)点P(x,y)到y 轴的距离等于x (3)点P(x,y)
四、各象限的角平分线上的点的坐标特点:
点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上⇔x 与y 相等 点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上⇔x 与y 互为相反数 五、与坐标轴、原点对称的点的坐标特点:
(1)关于x 轴对称的点的横坐标相同, 纵坐标互为相反数
3
(x,y) 关于x 轴对称点的坐标是(x,-y)
(2)关于y 轴对称的点的纵坐标相同, 横坐标互为相反数
(x,y)关于y 轴的对称点的坐标是(-x,y)
(3)关于原点对称的点的横坐标、纵坐标都互为相反数
(x,y) 关于原点的对称点的坐标是(-x,-y)
六、特殊位置点的特殊坐标:
七、
八、坐标变化与图形变化的规律:
4
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