菱形的性质和判定1

菱形的性质和判定

1、菱形的定义：

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 2、菱形的性质：

菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质，还有自身的特殊性质： （1）菱形四条边相等。

（2）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。 （3）菱形是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线为对称轴）。 3、菱形的判定：

（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形。

（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形。（3）四边相等的四边形是菱形。 4、菱形面积计算：

（1）平行四边形面积求法：S

11

底×高（2）特殊求法：S对角线的乘积

22

1下列命题不正确的是（ ）

A．对角线互相平分且一组邻边相等的四边形是菱形; B．组对边分别平行且一组邻边相等的四边形是菱形; C．两组对角分别相等且一组邻边相等的四边形是菱形; D．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形. 2．菱形具有一般平行四边形不具有的性质是（ ）

A．两组对边分别平行 B．对角线互相平分 C．两组对边分别相等 D．一组邻边相等 3．一个菱形的两条对角线分别是6cm，8cm，则这个菱形的面积等于（ ） A．48cm B．24cm C．12cm D．18cm

2

2

2

2

4．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中，不一定正确的是（ ）

A．AB=CD B．当AC⊥BD时，它是菱形 C．AC=BD D．当∠ABC=90°时，它是矩形

例1、如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在CD、BC上，且CE=CF，求证：AE=AF。

A

D

E

C

F

【变式练习】

如图，AC是菱形ABCD的对角线，点E、F分别在边AB、AD上，且AE=AF。 求证： △ACE≌△ACF

FA

E

BC

例2、如图，菱形ABCD中，B=60°，AB=2cm，E、F分别是BC、CD的中点，连结AE、EF、AF，则△AEF的周长为多少？

A

B

FE

C

【变式练习】

如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，AC=6，BD=8，求菱形ABCD的周长和面积。

A

O

B C

例3、如图，△ABC中，E、F、D分别是AB、AC、BC上的点，且DE∥AC，DF∥AB，要使四边形AEDF是菱形，在不改变图形的前提下，你需要添加的一个条件是 ，试证明：这个多边形是菱形。 A

E

F

BC DA

【变式练习】已知AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DE∥AB交

E

AC于点F，求证：AD⊥EF。

D

D

D

例4、如图，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线EF与AD、BC、AC分别交于点E、F、O，连接AF、EC，则四边形AFCE是菱形吗？为什么？

D C

E

O

F

AB

【变式练习】如图，△ABC中， ∠ACB=90°，BE平分∠ABC，CD⊥AB与D，EH⊥AB于H，CD交BE于F．求证：四边形CEHF为菱形．

C

B

E

FH

D

A

例5.所示，□ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别交于E，F.求证：四边形AFCE是菱形．

例6、如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点，PO的延长线交BC于Q。

（2）若AD=8厘米，AB=6厘米，P从点A出发，以1厘米/秒的速度向D运用（不与D重合）。设点P运动时间为t秒，请用t表示PD的长；并求t为何值时，四边形PBQD是菱形。

P

AD

错用判定条件

例：如图，已知在平行四边形ABCD中，A的平分线与BC交于点E，B的平分线与AD交于点F，AE与BF交于点O。

AF试证明：四边形ABEF是菱形。

2

1

B

4

E

C

O

B

C

Q

D

菱形的性质：

1、 菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可以将菱形分成完全全等的两部分。 2、 菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心。

3、 菱形的面积计算两种方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四

个小直角三角形的面积之和）。实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半。

4、 菱形的性质可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题。

菱形的判定：

1、 判定一个四边形是菱形时，首先判定它是平行四边形，再说明它的一组邻边相等或者对角线互相垂直，也可

以证明它的四条边相等或者对角线互相垂直平分。

2、 前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四边

相等。

一、选择题

1、如图，菱形ABCD中，AB=5，BCD=120°，则对角线AC的长是（ ） A、20 B、15 C、10 D、5

D

A

A

B

C

F

B

D

1

A

E

C

C

B

1题图 2题图 3题图

2、如图所示，是一个边长为15cm的活动菱形衣帽架，若墙上钉子间的距离AB=BC=15cm，那么1的度数为（ ） A、45° B、60° C、75° D、90°

3、如图所示，在菱形ABCD中，BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，点E为垂足，连接DF，则CDF的度数为（ ）

A、80° B、70° C、65° D、60°

4、下列命题不正确的是（ ）

A．对角线互相平分且一组邻边相等的四边形是菱形;

DB．组对边分别平行且一组邻边相等的四边形是菱形; A

C．两组对角分别相等且一组邻边相等的四边形是菱形;

E

D．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形.

二、填空题

B

5、如图所示，四边形ABCD是边长为13cm的菱形，其中对角线BD长10cm，则（1）对角线AC长度是 cm；（2）菱形ABCD的面积是 cm。

6、如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=8，BD=6，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则点O到AB的距离OH= 。

B

D

E

DFO AC

H

CAB

6题图 7题图 7、如图，在△ABC中，ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE的延长线上，且AF=CE，则四边形ACEF为 ，当B= 时，四边形ACEF为菱形。

三、解答题

A2

C

（1）求ABD的度数； （2）求线段BE的长。 C O BE

F9、如图，△ABC中，AB=AC，AD、CD分别是△ABC两个外角的平分线。

（1）求证：AC=AD；

（2）若B=60°，求证：四边形ABCD是菱形。

AD

B

CE

10、已知：如图所示，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G。

（1）求证：△ADE≌△CBF

FD

（2）若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论。

AB

E

菱形的性质

选择题：

1.（2011江苏无锡）菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ） A．对角线互相垂直 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．对角互补

2.（2011江苏淮安）在菱形ABCD中，AB=5cm，则此菱形的周长为（ ）

A. 5cm B. 15cm C. 20cm D. 25cm

3.（2011云南保山）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，BD=4，则菱形ABCD的周长是___________． 4.（2011•青海）已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长度是6和8，则这个菱形的周长是（ ） A、20 B、14 C、28 D、24 5 （2011，台湾省）如图为菱形ABCD与△ABE的重迭情形，其中D在BE上．若AB=17，BD=16，AE=25，则DE的长度为何？（ ）

G

C

第5题图 第6题

6.（2011济南）如图，菱形ABCD的周长是16，∠A=60°，则对角线BD的长度为（ ） A．2

B．2 C．4

D．4

7.（2010广东佛山）依次连接菱形的各边中点，得到的四边形是（ ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形

8.（2011广东省茂名）如图，两条笔直的公路l1、l2相交于点O，村庄C的村民在公路的旁边建三个加工厂 A、B、D，已知AB=BC=CD=DA=5公里，村庄C到公路l1的距离为4公里，则村庄C到公路l2的距离是（ ） A、3公里 B、4公里 C、5公里 D、6公里

9（2011湖南衡阳）如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是（3，4），则顶点M、N的坐标分别是（ ）

A、M（5，0），N（8，4） B、M（4，0），N（8，4） C、M（5，0），N（7，4） D、M（4，0），N（7，4）

填空题：

1.（2011重庆綦江）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝8，BD＝6，过点O作OH丄AB，垂足为H，则点O到边AB的距离

2.（2011河北）如图，已知菱形ABCD，其顶点A，B在数轴上对应的数分别为－4和1，则BC＝ ．

3（2011福建龙岩）如图，菱形ABCD周长为8cm．∠BAD=60°，则AC= cm．

4.（2011甘肃兰州）如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去.已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为 .

……

解答题：

1.（2011南昌）如图，四边形ABCD为菱形，已知A（0，4），B（﹣3，0）． （1）求点D的坐标；

（2）求经过点C的反比例函数解析式．

2.（2011四川广安）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝ 60°，DE∥ABC的延长线于点E．求证：DE＝

3.（2011湖州）如图，已知E、F分别是▱ABCD的边BC、AD上的点，且BE=DF． （1）求证：四边形AECF是平行四边形；

（2）若BC=10，∠BAC=90°，且四边形AECF是菱形，求BE的长．

B

1

BE． 2

A

D

C

E

1.（西宁）用直尺和圆规作一个菱形，如图，能得到四边形ABCD是菱形的依据是（ ） A、一组临边相等的四边形是菱形 B、四边相等的四边形是菱形

C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形

D、每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形

2.（2011•莱芜）如图，E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，且AB=CD．下列结论：①EG⊥FH，②四边形EFGH是矩形，③HF平分∠EHG，④EG=

A、1

B、2 C、3

1

（BC﹣AD），⑤四边形EFGH是菱形．其中正确的个数是（ ） 2

D、4

3.（2011湖南益阳）如图，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B为圆心，大于

1

AB2

的长为半径画弧，两弧相交于C．D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是（ ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形

4. (2011襄阳)若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形，则四边形ABCD一定是( )

A．菱形 B．对角线互相垂直的四边形 C．矩形 D．对角线相等的四边形

填空题：

1.（2011•贵港）如图所示，将两张等宽的长

方形纸条交叉叠放，重叠部分是一个四边形ABCD，若AD=6cm，∠ABC=60°，则四边形ABCD的面积等于 2

m．

2.（2011福建省三明市）如图，平行四边形ABCD中，对角形AC，BD相交于点O，添

加一个条件，能使▱ABCD成为菱形．你添加的条件是 （不再添加辅助线和字母）

1.（2011江苏镇江常州）已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=CD，AD⊥BD，E为AB中点，求证：四边形BCDE是菱形．

2.（2011新疆乌鲁木齐）如图，在平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2AD，点 E、F分别是CD的中点，过点A作AG∥BD，交CB的延长线于点G． （1）求证：四边形DEBF是菱形；

（2）请判断四边形AGBD是什么特殊四边形？并加以证明．

3.（2011云南保山）如图，在平行四边形ABCD中，点P是对角线AC上一点，PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分别为E、F，且PE=PF，平行四边形ABCD是菱形吗？为什么？

4.（2011•贵港）如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∠BAD的平分线AE交BC于点E，连接DE． （1）求证：四边形ABED是菱形；

（2）若∠ABC=60°，CE=2BE，试判断△CDE的形状，并说明理由．

5.（2011•安顺）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，且AF=CE=AE．

（1）说明四边形ACEF是平行四边形；

（2）当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形，并说明理由．

6.（2011•临沂）如图，△ABC中，AB=AC，AD、CD分別是△ABC两个外角的平分线．

（1）求证：AC=AD；

（2）若∠B=60°，求证：四边形ABCD是菱形．

7.（2011•恩施）如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，BC=CD，锐角∠BAC

的角平分线AE交BC于点E，AF是CD边上的中线，且PC⊥CD与AE交于

点P，QC⊥BC与AF交于点Q．

求证：四边形APCQ是菱形．

8.（2011邵阳）在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，

顺次连接EF、FG、GH、HE．

（1）请判断四边形EFGH的形状，并给予证明；

（2）试添加一个条件，使四边形EFGH是菱形．（写出你添加的条件，不要求证明）